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テンソル (tensor) とは(形式ばらずにいえば)線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので、基底を選べば多次元の配列として表現できるようなものである。しかし、テンソル自身は特定の表示系によらないで定まる対象である。

個々のテンソルについて、対応する量を記述するのに必要な配列の添字の組の数はそのテンソルの階数とよばれる。

例えば、質量や温度などのスカラー量は階数0のテンソルだと理解される。同様にして力や運動量などのベクトル的な量は階数1のテンソルであり、力や加速度ベクトルの間の異方的な関係などをあらわす線型変換は階数2のテンソルで表される。

一般に「テンソル」と呼ばれている数学的な対象は、実際には位置によって変化するテンソル的な量である「テンソル場」であることに注意しなければならない。いずれにせよテンソル場の理解のためにはテンソルそのものの概念の理解が不可欠である。

この記事ではテンソルの考え方について、あまり技術的すぎない紹介をする。

◆テンソルの応用と重要性

テンソルは物理や工学において重要な位置を占めている。例えば拡散テンソル画像ではさまざまな方向への臓器の水に対する微分透過率を表すテンソル量を用いて脳の走査像が構成される。おそらく工学でテンソルが最も活用されているのは応力テンソルとひずみテンソルだろう。これらは2階のテンソルで、4階のテンソルである弾性テンソルによって一般の線型的な素材に関連づけられている。

とくに3次元の物体中の応力を表す2階のテンソルは3次の正方行列によって成分を表示することができる。物体の中の立方体状の無限小体積要素について3方向の面それぞれ(向かい合う面どうしは十分近いので同一視される)に一定の力がかかっていて、力は3つの方向の要素を持っている。したがって3×3、つまり9個の成分によってこの立方体状無限小体積要素(最終的には点と見なされる)における応力が記述される。物体の境界内にはこの応力が(場所によって異なった値をとりながら)分布しており2階のテンソル(場)が考えられることになる。

テンソルは多次元の配列によって成分表示できるのは確かだが、テンソルの理論を構築することの意義はここの量がテンソルであるということによって具体的に添字づけられた成分を指定しないでも何が導かれるのかを説明することである。とくに座標変換によってテンソル(場)は決まったふるまいを見せる。

d次元空間に二種類の座標系$(x\_i)\_i,\; (x\text{'}\_i)\_i$が与えられていて、それら間の関係が変換行列$A=(a\_)$をもちいて

:$$

x'_i = \sum_^ a_ x_j

と表されるとする。このとき2階の共変テンソルTが$(x\_i)\_i$座標系では$(t\_)\_$と表示され、$(x\text{'}\_i)\_i$座標系では$(t\text{'}\_)\_$と表示されているとすれば、これらの間に変換則

:$$

t'_ = \sum_^ a_ a_ t_

が成立している。

抽象的なテンソルの理論は今では多重線型代数と呼ばれる線型代数の一分野になっている。

◆ 歴史

テンソルという言葉は1846年にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって特定の種類の代数系(やがてクリフォード代数として知られるようになる)におけるノルム操作を記述するために導入された。現在の意味で使われるようになったのは1899年のヴォルデマール・フォークトからである。テンソルの記法は1890年ごろにグレゴリオ・リッチ=カルバストロによって絶対微分という名の下に発展させられ、チュリオ・レヴィ=チビタによる1900年の古典的な同名の著作によって多くの数学者たちに知られるようになった。

20世紀に入ってからはこの分野はテンソル解析として知られるようになり、1915年頃のアルベルト・アインシュタインによる一般相対性理論の導入によって広く知られるようになった。一般相対性理論は完全にテンソルの言葉を用いて定式化される。アインシュタインは苦労の末にマルセル・グロスマンからAbraham Pais, Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein (あるいはレヴィ=チビタ自身から) テンソルの理論を学んだとされている。テンソルは連続体力学など他の分野でも使われている。

◆いくつかのアプローチ

テンソルの定義・表示と取り扱いには、いくつかの同等な方法がある。実際にそれらが同じことを指していることを納得するには、多少の慣れが必要である。

古典的な方法ではテンソルは多次元の配列で、階数0のスカラーや階数1のベクトル、階数2の行列などの階数nへの一般化を与えているものと見なされる。テンソルの「成分」は配列の要素の値によって与えられることになる。この考えはテンソル場として一般化され、テンソルの成分として関数やその微分が取り扱われるようになる。

テンソルとよばれるためには配列は基準にしている座標系がかわるときには一定の変換を受けなければならない。この変換はベクトルの要素に対する関係を一般化したものであり、ベクトルの場合と同様にして表している量が本質的には表示のための座標系の選択によらないものであることを示している。

物理学における通常のテンソルの定義の仕方は、特定の規則に従って成分が変換されるような対象という言い方を用いるもので、共変変換と反変変換の概念がもちいられる。

現代的な(成分を使わない)アプローチではテンソルはまず抽象的に多重線形性の概念にもとづく数学的対象として定義される。よく知られているような諸性質が線型写像としての(あるいはもっと一般的な部分についての)定義から導かれる。テンソルの操作規則は線形代数から多重線形代数への拡張の中で自然に現れる。

数学における普通のやり方では、ある種のベクトル空間を用いて、必要なときに基底を考えるまでは特に座標系を指定しないようにされる。例えば共変ベクトルは一次微分形式として説明できるし、あるいは反変ベクトル空間の双対空間の元として説明することもできる。

現代流の成分によらないベクトルの概念によって、成分表示にもとづく伝統的な(しかし、初学者にベクトルの概念がどんなものかを教えるには有効な)取り扱いが置き換えられるように、この取り扱いは成分にもとづく取り扱いをより高度な考え方によって置き換えることを目的としている。「テンソルはテンソル空間の元のことなのだ」という標語を掲げることもできるだろうが、高階のテンソルに対して幾何的な解釈をどう与えるかという難しさもあって、成分表示によらないアプローチが支配的になったというわけではない。

物理学者や技術者たちはベクトルやテンソルが(勝手に選べてしまうような)座標系に左右されない概念としての重要性を認識した。同様に、数学者たちは座標表示することで簡単に導けるようなテンソルの関係があることを見いだしている。

◆例

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